Probabilités, indépendance et probabilités conditionnelles

Les statistiques inférentielles reposent sur les probabilités : elles permettent de quantifier l’incertitude. Commençons par les règles de base.

Événements et probabilités

Une probabilité est un nombre entre 0 (impossible) et 1 (certain). Si tous les résultats sont équiprobables : P(A) = nombre de cas favorables / nombre de cas possibles. Avec un dé, P(« pair ») = 3 / 6 = 0.5.

Règles essentielles :

• Complémentaire : P(non A) = 1 - P(A).
• Union : P(A ou B) = P(A) + P(B) - P(A et B). On retire l’intersection, sinon elle serait comptée deux fois.

Probabilité conditionnelle

P(A sachant B), notée P(A | B), est la probabilité de A quand on sait que B est réalisé : P(A | B) = P(A et B) / P(B).

Exemple sur 1 000 visiteurs d’un site :

import pandas as pd

# 1000 visiteurs : appareil x achat
tab = pd.DataFrame({"achat": [60, 40], "pas_achat": [340, 560]},
                   index=["mobile", "ordinateur"])
total = tab.values.sum()                                   # 1000
p_achat = tab["achat"].sum() / total                       # 0.10
p_mobile = tab.loc["mobile"].sum() / total                 # 0.40
p_achat_et_mobile = tab.loc["mobile", "achat"] / total     # 0.06
p_achat_sachant_mobile = p_achat_et_mobile / p_mobile      # 0.15

Sachant qu’un visiteur est sur mobile, il achète avec une probabilité de 15 %, contre 10 % en général.

Indépendance

A et B sont indépendants si connaître B ne change rien à la probabilité de A : P(A | B) = P(A), ce qui équivaut à P(A et B) = P(A) x P(B). Ici, 0.15 est différent de 0.10 : achat et appareil ne sont pas indépendants.

Deux lancers de pièce sont indépendants : P(deux piles) = 0.5 x 0.5 = 0.25.

Le théorème de Bayes

Il permet d’inverser une probabilité conditionnelle : P(A | B) = P(B | A) x P(A) / P(B).

Exemple classique : une maladie touche 1 % de la population. Un test la détecte dans 99 % des cas chez les malades, mais donne aussi 5 % de faux positifs chez les personnes saines. Si le test est positif, quelle est la probabilité d’être malade ?

p_m = 0.01               # P(malade)
p_pos_m = 0.99           # P(positif | malade), la sensibilité
p_pos_sain = 0.05        # P(positif | sain), le taux de faux positifs
p_pos = p_pos_m * p_m + p_pos_sain * (1 - p_m)   # probabilités totales
print(p_pos_m * p_m / p_pos)                     # environ 0.167

Seulement 17 % ! Comme la maladie est rare, la plupart des positifs sont des faux positifs. Confondre P(positif | malade) et P(malade | positif) est une erreur très fréquente, y compris en entreprise (alertes de fraude, scores de risque).

Estimer par simulation

Quand le calcul est difficile, on peut simuler : la fréquence observée sur un grand nombre d’essais se rapproche de la probabilité.

import numpy as np
rng = np.random.default_rng(42)       # graine pour un résultat reproductible
des = rng.integers(1, 7, size=100_000)
print((des % 2 == 0).mean())          # proche de 0.5

À retenir

• P(A | B) restreint l’univers aux cas où B est vrai.
• Indépendance : P(A et B) = P(A) x P(B).
• Bayes inverse les conditionnelles ; la probabilité de base (ici 1 %) compte énormément.